关键词：小波分析；灰色关联度；信号去噪；阈值法

0 引言

    随着小波理论的不断完善以及发展，应用也愈来愈广泛，特别是在信号和图像处理两个方面，而在运用小波分析对信号进行去噪的过程中，核心步骤就是在经过小波分解的系数上作用阈值，因为阈值的选取将直接影响去噪质量的好坏，所以很多学者据此提出了一系列的理论和经验模型，但没有一种模型是通用的，它们都有着各自使用的范围。

    针对以上情况，本文提出了一种新的理论方法——灰色关联度阈值法（GID），这个方法能很好地解决抑制噪声与保留信号细节之间的问题，从而使处理后的信号更加具有良好的光滑性和相似性。

1 小波系数的灰色关联分析

1.1 灰色关联度简介

定义1：设为系统因素，若为时间序号，为因素在时刻的观测数据，则称为因素的行为时间序列。

定义2：设为因素的行为时间序列，为序列算子，且

 

其中    ；     ，

则称为初值化算子，为在初值化算子下的像，简称初值像。

定理1：设以近似时间序列为系统特征序列且细节时间序列，为相关因素序列，则与的灰色关联度为        （1）

而         （2）

式（2）中称为分辨系数，，一般取，的取值可根据各层噪声强度来确定，越大，相应的取大，反之亦然。

1.2 计算步骤 

根据定理1中定义的算式可得灰色关联度的计算步骤如下：

a) 求各序列的初值像。令

；

b) 求差序列。记

，，

c) 求两极最大差与最小差。记

，

d) 求关联系数

  ，   ，  ；

e) 计算关联度

；

2 小波去噪过程

    设一个信号被噪声污染后为，其噪声模型可表示为

，其中为噪声，并假设其为高斯白噪声，为噪声的强度。

3 GID阈值法

根据各层小波分解系数中近似时间序列（高频部分）和细节时间序列（低频部分）之间的灰色关联度以及噪声强度来确定各层的阈值，GID阈值模型给出的结果如下：

                （3）

式（3）中，为信号的长度，为系数间灰色关联度，为噪声强度。

GID阈值法滤噪的具体步骤如下：

a)对信号求小波变换得到各层小波系数。

b)计算各层小波的噪声强度。

c)根据式（1）计算细节系数和近似系数的灰色关联度。

d)根据GID阈值模型，由式（3）计算出阈值，当某位置小波变换值大于阈值时，保留原值，否则置零，即。

4 实验结果及分析

选择对称性比较好的正交小波sym6对信号进行三层分解的实验仿真。分别用Donoho阈值法、Birge-Massart策略所确定的阈值法、penalty阈值法以及本文所提出的GID阈值法四种方法对含噪信号进行阈值处理，并分别从信噪比（psnr）、能量成分（per）和误差标准差（err）三个性能指标来评估处理后的信号质量。得出的结果如表1、2所示。

表1 原信号加入噪声强度

阀值类型

性能指标 Donoho阀值法 Birge-Massart策略法 Penalty阀值法 GID阀值法

信噪比（psnr） 40.869 42.454 43.508 49.782

能量成分（per）（%） 99.995 99.997 99.996 99.999

误差标准差（err） 3.2232 2.6855 2.3784 1.1551

表2 原信号加入噪声强度

阀值类型

性能指标 Donoho阀值 Birge-Massart阀值 Penalty阀值 GID阀值

信噪比（psnr） 40.689 42.411 43.037 49.549

能量成分（per）（%） 99.993 99.995 99.994 99.998

误差标准差（err） 3.2906 2.6987 2.5111 1.1865

图1为四种方法除噪后的信号效果图。从表1、2及图1可以看出，使用Donoho阈值法、penalty阈值法去噪的同时过滤掉了过多的信号细节部分，致使去噪后的信号过于光滑，失真度比较大；Birge-Massart策略所确定的阈值法保留了信号细节，但同时也保留了一定的噪声，没有顾虑到信号的光滑性。比较之下，本文所提出的GID阀值法就能在很好地抑制噪声的同时，也有效地保留信号的细节部分，从而使信噪比得到较大的提高。

 

图 1 除噪后的信号效果图

5 结束语

  本文结合小波理论和灰色关联分析的原理，利用噪声和原信号的之间的信息，通过高频系数和低频系数之间的灰色关联度与噪声强度来确定阈值并进行滤波，很好地控制了在抑制噪声和保留信号细节之间的问题，使去噪后的信号只损失了很少的原信号能量成分，并且使信噪比得到了很大的提高，具有良好的应用前景。 

参考文献

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